1. Ana Sayfa
  2. Eğitim
  3. Doğada Sonsuzluk ve Matematiksel Kavramlar

Doğada Sonsuzluk ve Matematiksel Kavramlar

Son güncelleme: 12.09.2010 18:30
SusKunN SusKunN foto




  • Doğada "sonsuz" yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. O zaman doğada sonsuz yoktur...

    Doğada matematiksel bir "nokta" yoktur. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz "nokta" boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. İşte nokta diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. "Nokta" kavramı insanların uydurmasıdır.

    Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz düz çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her düz çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.

    Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589... diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi'yi tam olarak yazamaz. pi'yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, pi'nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi'yi değil, pi'ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur! Doğada "işte çember" diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır. Zaten uygulamada hiçbir zaman pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159=314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi'nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?

    Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları hele hiç yoktur! Öyle değil mi? Bu düşünceler kesinlikle bir kenara atılabilecek düşünceler değiller. Hatta daha bariz bir örnek verelim; Bildiğimiz uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının bir uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz iki yarım metrenin her birini de ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı ikiye bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza kadar yapabiliriz. Sonsuza kadar olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böyle böyle, bir atomun, bir elektronun, bir kuarkın ve birçok atom altı parçacığın boyutlarından daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye bölünmez. Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı dilediğimiz kez ikiye bölemeyiz. Fiziksel uzayda en küçük zaman aralığı en küçük uzaklık gibi kavramlar vardır. Bir zaman sonra, fizik, uzayı ikiye bölmemizi engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı bölebiliyoruz ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel uzay tam bir uzlaşma içinde değildir(gerçekten öyle midir, irdeleyelim bakalım ne çıkıcak...)

    Matematiğin doğada olup olmadığını bir kenara bırakalım şimdi. Matematiksel kavramların doğada olup olmadığına bakalım.

    Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. "Bir" kavramı, "çember" kavramı, "pi" kavramı vardır. Matematiksel kavramlar (doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa ) vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok(olan var mı?). Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile.

    Bu var olan kavramlar yoktan mı var olmuştur? İnsanların Yoktan hiçbir şeyi var edemeyeceğini biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan var olmamıştır. "Saf düşünce ürünü" diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin var olabileceğini düşünmek olur. Her düşünce ürününde olduğu gibi matematiğin kaynağı da dış dünyadır. Matematikçinin kendinden bağımsızdır.

    Bir de şöyle bir soru soralım; Matematik tamamıyla doğadan bağımsız mıdır?

    Günümüzün ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz göz önüne alınınca, matematiğin tamamıyla doğadan bağımsız olmadığı da belli oluyor zaten. Matematiğin çok soyut kavramları bile zamanla uygulama alanı bulabiliyor. Bu da, elbette, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, tanımlayabildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak kâğıda dökebildiğini gösteriyor. Demek ki matematik, bir ölçüde bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada "bir" olsun veya olmasın, matematikteki "bir" kavramıyla uzaya gidiliyor, gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığıyla dünyanın bir köşesiyle öbür köşesi arasında ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor, benim bu yazıyı buraya yazmam ve sizin de okumanız sağlanıyor... Bu teknolojik gelişmelerin soyut matematikle değil, fizikle, kimyayla, mühendislikle ve uygulamalı matematikle gerçekleştiği ileri sürülebilir. Bu düşünce hem doğrudur hem yanlış. Bir yandan kuramsal ve soyut matematik en beklenmedik anda uygulama alanı bulabilmektedir, öte yandan gelecekte bile nasıl uygulanacağı bilinmeyen matematiksel araştırmalar yapılmaktadır. Aynı ikilem kuramsal fizik için de geçerlidir. Kaldı ki, teknolojiye uygulanan fizik, kimya ve mühendislik de ilk önce kâğıt üzerinde yapılıyor, uygulamaya sonra geçiliyor.

    Şimdi en başa geri dönelim. Yukarıdaki, "doğada bir elma yoktur" düşüncesini ele alalım. "Doğa" sözcüğü çok kısıtlı bir anlamda anlaşıldığında bu düşünce doğru olabilir. Doğada bir değil, birçok elmanın olduğu ve hatta her elmanın her an değiştiği, elmayla ortam arasındaki sınırın tam olarak bilinemeyeceği savunulabilir. Dolayısıyla, "bir elma" yoktur denilebilir. Ancak bu doğa anlayışını kabul ettiğimizde, doğa, parçalara ayrılamayan, durmadan değişen, bir türlü gözlemlenemeyen ve kavranamayan, elle tutulmaz, dille anlatılmaz, yazıyla tanımlanamaz bir bütün olur. Hatta böyle bir doğa anlayışından doğada, doğanın kendisinden başka hiçbir şeyin olmadığı sonucu çıkabilir. Eğer doğa gerçekten anlaşılamayan bir bütünse, o zaman bir sorun yok. Ama öyle değil. Barajlarla selleri, paratonerlerle yıldırımları önlüyoruz. Yerçekimini yeterince anlamış olmalıyız ki, uçaklar, jetler, füzeler yapıp yerçekimine karşı gelebiliyoruz. Dünyanın çekim kuvvetini bile yenip ondan ayrılabiliyoruz. Önceden tahmin edilemez diye bakılan depremleri bile tahmin edebilecek duruma geldik. Dolayısıyla bu doğa anlayışı pek doğru olmamalı. Doğayı anlamak demek, doğanın bütün sırlarına erişmek demek olmamalı. Her ne denli doğa hâlâ daha gizemliyse de, doğayı biraz olsun kavrayabiliyoruz. Matematik, doğayı anlamamızı sağlıyor. Teknolojik gelişmeler bunun bir kanıtıdır değil mi?

    Doğa yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız, değildir. Doğanın bize sezdirdikleri de vardır. Örneğin, matematiksel doğru doğada fiziksel olarak bulunmayabilir, ama doğru kavramı doğada vardır ve doğa bize doğru kavramı sezdirtir. Upuzun bir ağaç, denizle gökyüzünü ayıran çizgi, güneş ışınları doğru kavramını fısıldarlar. Bal peteğinin hücreleri matematiksel altıgeni, gece gördüğümüz yıldızlar matematiksel noktayı, ay, güneş ve gezegenler matematiksel çemberi ve küreyi fısıldarlar. Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldar. Geçen günler, mevsimler ve yıllar, bir ormandaki ağaçlar, bir bitkinin yaprakları, 1, 2, 3 gibi sayı kavramlarını fısıldarlar. Bu fısıltı biz insanlardan bağımsız vardır.

    Doğada "işte!" diye gösterebileceğimiz bir "bir" olmayabilir. Ama doğa bize "bir" kavramını fısıldar. Avustralya ve Afrika'nın yerlileri de, Aztekler de, İnkalar da, Batı kültürüyle tanışmamış olmalarına karşın, 1'i, 2'yi 3'ü bulmuşlardır. Demek ki doğanın bu fısıltısını duymak yalnızca bir uygarlığa özgü değildir, her uygarlık duyabilir.

    Arı peteğinin her hücresi kusursuz bir altıgen olmayabilir. Ama arı, peteğinin hücresini yaparken hücrenin altıgen olmasına çalışır. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmayabilir, ama sabun köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Sonsuz küçük sayılar fiziksel olarak olsa da olmasa da, bu sayılar doğada düşünce/fısıltı olarak vardırlar, örneğin durmadan küçülen ama hiçbir zaman sıfır olmayan 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... dizisi bize sonsuz küçüğü anlatır.

    Nokta, doğru, çember, pi, 1, 2, 3 gibi kavramların doğada bulunduğuna inanıyor, ancak modern matematiğin(soyut matematiğin, sonsuz kavramının) doğada bulunduğuna inanmıyor olabilirsin. Ona da şöyle bakalım.

    Modern matematik, matematik tarihinden soyutlanarak ele alınırsa, modern matematiğin yapay bir bilim olduğu kanısına varılabilir. Günümüzün soyut matematiğinin bir zorunluluk olduğunu anlamak için matematik tarihini incelemeliyiz. Çünkü matematiğin her kavramı daha önce tanımlanmış başka kavramlardan kaynaklanır ve bulunan her yeni kavram başka kavramların bulunmasına neden olur. Matematiğin her kavramının bir temeli, bir geçmişi, var oluşunun bir gerekçesi vardır. Hiçbir matematikçi durup dururken yeni bir kavram üretmez. Matematikçilerin tanımladıkları her kavram bir gereksinim sonucudur.

    Örneğin, doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri kavramından süreklilik, limit ve türev kavramları, bu kavramlardan sonsuz küçük kavramı, sonsuz küçük kavramından sonsuz büyük kavramı doğar. Sayılar kavramından polinom ve cisim kavramları, bu kavramlardan grup kavramı doğar. Uzaklık kavramından topolojik uzay kavramı doğar.

    Son olarak olayı şöyle düşünelim; diyelim ilkel bir toplum 20'ye değin saymasını biliyor ve 20'den büyük sayılar için "çok" terimini kullanıyor. Bu ilkel toplumun 21, 22, 23 sayılarını zamanla öğreneceğinden kuşkumuz olmamalı. 20'ye dek sayabilmek belli bir zekânın göstergesidir. 20'ye değin sayabilen bir toplumun 21'i öğrenemeyeceğini düşünemeyiz. Bu ilkel toplum gel zaman git zaman 21'i, 22'yi, 23'ü öğrenecek, hatta "artı 1" kavramına ulaşacaktır. Arkası kendiliğinden gelir. "Artı 1" kavramına ulaşan bir toplum kolaylıkla evrendeki "parçacık" sayısından daha büyük sayılara ulaşır. Oysa evrende böyle bir sayı fiziksel olarak yoktur, ama "artı 1" soyutlaması bu sayıyı "yaratır". Fiziksel olarak evrende bulunmayan bu çok büyük sayılardan "sonsuz" kavramına varmak zor değildir. Yani bakınca sonsuz kavramına ulaşmak için "artı 1" kavramını bilmek yeterli öyle değil mi?

    Sonuç olarak sonsuzluk kavramı da, tıpkı nokta gibi, doğru gibi, eğri gibi, 1 gibi, 2 gibi, pi gibi doğada vardır. Matematiğin bize sunduğu bu soyut kavramlarda, doğanın bize sunduğu en basit matematiksel kavramlardan ortaya çıkmışlardır
#12.09.2010 18:30 0 0 0